SISTEM ANTRIAN

Antri (queue)adalah kejadian yang biasa dalam kehidupan sehari-hari. Menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, menunggu pada SPBU, pada pintu jalan tol, ketika akan keluar dari supermarket, dan situasi-situasi yang lain merupakan kejadian yang sering ditemui.
1 Teori antrian pertama kali dikemukakan oleh A.K. Erlang, seorang ahli matematika bangsa Denmark pada tahun 1913 dalam bukunya Solution of Some Problem in the Theory of Probability of Significance in Automatic Telephone Exchange.
2 Tujuan penggunaan teori antrian adalah untuk merancang fasilitas pelayanan, untuk mengatasi permintaan pelayanan yang berfluktuasi secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya (waktu nganggur) pelayanan dan biaya (waktu) yang diperlukan selama antri.

1 Kedatangan :
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, atau panggilan telepon untuk dilayani. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population dan cara terjadinya. Kedatangan pada umumnya merupakan proses random.
1 Pelayanan
Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. Di samping itu, perlu diketahui cara pelayanan dirampungkan, yang kadang-kadang merupakan proses random.

1 Antri
Inti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Penentu antrian lain yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri, misalnya, datang awal dilayani dulu, datang terakhir dilayani dulu, berdasar prioritas, dan secara random. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang nganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan.

STRUKTUR DASAR PROSES ANTRIAN
Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu :
1. Satu saluran satu tahap
2. Banyak saluran satu tahap
3. Satu saluran banyak tahap
4. Banyak saluran banyak tahap

Ciri-ciri operasi yang akan dipelajari adalah
1 Pn = probabilitas n pengantri dalam sistem
2 L = rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
3 Lq = rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian
4 W = rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan)
5 Wq = rata-rata waktu antri
6 I = proporsi waktu nganggur pelayanan

Biaya Menunggu

1 Biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha, atau biaya turunnya produktivitas bagi pekerja.
2 Dan model keputusan masalah antrian dirumuskan sebagai :
Minimumkan : E [ CS ] = I Ci + W Cw

Keterangan :
1 E [ CS ] = total expected cost untuk tingkat pelayanan S
2 I = waktu nganggur pelayan yang diharapkan
3 Ci = biaya nganggur pelayan per unit waktu
4 W = waktu menunggu yang diharapkan untuk semua
kedatangan
5 Cw = biaya menunggu pengantri per unit waktu

Distribusi Kedatangan
1 Model antrian adalah model probabilistik (stochastic) karena unsur-unsur tertentu proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel random.
2 Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilitas.
3 Asumsi yang biasa digunakan dalam kaitannya dengan distribusi kedatangan (banyaknya kedatangan per unit waktu) adalah distribusi Poisson

P (r) =
Dimana :
1 r = banyaknya kedatangan
2 P (r) = probabilitas r kedatangan
3 A = tingkat kedatangan rata-rata
4 e = dasar logaritma natural, yaitu 2,71828
5 r! = r (r-1) (r-2) … ! (dibaca r factorial)

Sistem Antri Steady State dan Transient
1 steady state. diasumsikan bahwa ciri-ciri operasi seperti panjang antrian dan rata-rata waktu menunggu akan memiliki nilai konstan setelah sistem berjalan selama suatu periode waktu.
2 sistem antrian yang tidak dapat diharapkan berjalan cukup lama dalam keadaan steady state. dinamakan keadaan transient.
3 sistem antrian transient solusinya tergantung pada waktu yang telah dilewati sejak sistem mulai beroperasi.

Model Antrian (M / M / I)
1 Pada model ini kedatangan dan keberangkatan mengikuti distribusi Poisson dengan tingkat A dan U terdapat satu pelayan, kapasitas pelayanan dan sumber kedatangan tak terbatas
2 merupakan model antri yang paling sederhana dan merupakan satu-satunya model yang akan dibahas disini

Pn = (1 – R) Rn , dimana (R = A/U)  1 dan n = 0,1,2,…
1 Probabilitas terdapat k atau lebih pengantri dalam sistem adalah Pn  k = Rk
2 Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
L = n Pn =

l1
2) Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri
Lq =

1 Rata-rata waktu menunggu dalam sistem
W =

1 Rata-rata waktu antri

Wq =
1 Proporsi waktu nganggur pelayan 1 = 1 – R

Contoh :
1 Pelanggan PDAM datang pada loket pembayaran dengan tingkat rata-rata 20 per jam secara rata-rata setiap pelanggan dilayani 2 menit. Setelah sistem berada dalam steady state, carilah :
a. P4 = Probabilitas n =4
b. L = Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
c. Lq = Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri
d. W = Rata-rata waktu menunggu dalam sistem
e. Wq = Rata-rata waktu antri

1 Jawab :
Tingkat kedatangan rata-rata A = 20 per jam, dan tingkat pelayanan rata-rata
U = 30 per jam. Sehingga R = 2/3

a. P4 = (1 – 2/3) (2/3)4 = 16/192

b. L = = 2 penumpang

c. Lq = = 1,33 penumpang

d. W = = 1/10 jam = 6 menit

e. Wq = = 4 menit

BAB 2
SIMULASI SISTEM ANTRIAN PELAYAN TUNGGAL SEDERHANA

Algoritma Sistem Antrian Pelayan Tunggal Sederhana
1 Contoh antrian : car wash, kantor pos, bank
2 Gambaran Masalah

Komponen Simulasi :
1 Ukuran buffer (ruang antrian)
2 Skema pelayanan FIFO
3 Variabel acak

Variabel Acak dan Fungsi Probabilitas :
1 Pola kedatangan : selang waktu antar dua kedatangan berurutan equivalen dengan waktu setiap kedatangan
~ fA = fungsi probabilitas waktu kedatangan
1 Pola pelayanan : durasi pelayanan
~ fS = fungsi probabilitas durasi pelayanan

Contoh
Perkirakan jumlah rata-rata entitas dalam sebuah sistem antrian pelayan tunggal dengan buffer berukuran tak hingga dan skema pelayanan FIFO.
Membangun model dari contoh soal :
1 Spesifikasi input : bentuk fungsi fA dan fS
2 Spesifikasi ukuran kinerja : jumlah rata-rata entitas dalam sebuah sistem antrian :
Qav = (1/t)t Q(u) du,
denganQ(u) adalah jumlah entitas dalam antrian pada waktu u
1 Variabel output : jumlah kumulatif entitas dalam antrian :
Q = t Q(u) du
1 Hubungan Masukan-keluaran : Dilakukan oleh simulator
(a) Peristiwa : - entitas masuk antrian
- entitas masuk pelayanan
- entitas meninggalkan pelayanan
Daftar_Peristiwa E(tA, tD) : daftar peristiwa berikut
tA : waktu kedatangan berikut,
tD : waktu kepergian berikut
(b) Keadaan : n jumlah entitas dalam sistem antrian

1 Kriteria akhir simulasi : T (durasi simulasi keseluruhan)
(bisa juga yang lain, misalnya nA, atau M = kapasitas buffer)
Algoritma_Utama
(Computer code dapat dilihat di lecture note)
/*Inisialisasi*/
n = 0; t = 0; Q = 0; E(tA = , tD = )
tA = t + X (X ~ fA)
/*loop utama*/
while (t  T)
tE = min(tA, tD)
if (tE = tA) call Prosedur_Kedatangan
else call Prosedur_Kepergian
end
return Qav = Q/t

Prosedur_Kedatangan
/*Update Variabel*/
Q = Q + n  (tE  t)
/* Update Keadaan*/
n = n  1
/* Update Waktu*/
t = tE
/* Penjadwalan Peristiwa Baru*/
tA = t + X (X ~ fA)
if (n = 1) tD = t + Y (Y ~ fS)

Prosedur_Kepergian
/*Update Variabel*/
Q = Q + n  (tE  t)
/* Update Keadaan*/
n = n + 1
/* Update Waktu*/
t = tE
/* Penjadwalan Peristiwa Baru*/
if (n  1) tD = t + Y (Y ~ fS)
else tD = 

Contoh penggunaan

Dari suatu proses antrian diketahui kedatangan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata waktu kedatangan 60 detik. Dengan cara simulasi bilangan acak yang sesuai didapat untuk 10 kedatangan, dalam tabel waktu antar kedatangan :

CKLXKCLKKXCLXKLC

Waktu pelayanan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata waktu pelayanan 40 detik. Dengan cara simulasi bilangan acak yang sesuai didapat untuk 10 pelayanan pelanggan yang datang, dalam tabel

Untuk mengetahui peristiwa dalam antrian dengan pelayanan tunggal ini, dibuat tabel hasil simulasi

Penjelasan tabel :

1 Waktu kedatangan

Kedatangan dihitung dari waktu pelayanan mulai buka ( t =0)

waktu kedatangannya Pelanggan ke 1 = waktu antar kedatangan Pelanggan ke 1

waktu kedatangannya Pelanggan ke (i+1) = waktu kedatangannya Pelanggan ke i ditambah waktu antar kedatangan Pelanggan ke (i+1)

2 Waktu selesai dilayani

Waktu selesai dilayani Pelanggan ke 1 = waktu kedatangannya ditambah waktu pelayanannya

Jika waktu kedatangan < waktu pelanggan sebelumnya selesai dilayani, maka
waktu selesai dilayani Pelanggan ke (i+1) = waktu selesai dilayani Pelanggan ke i ditambah waktu pelayanan Pelanggan ke (i+1)
Dalam hal lain, maka
waktu selesai dilayani Pelanggan ke (i+1) = waktu kedatangannya Pelanggan ke (i+1) ditambah waktu pelayanan Pelanggan ke (i+1)

3 Waktu tunggu dilayani
Waktu tunggu dilayani Pelanggan ke 1 = 0
Jika waktu kedatangan < waktu pelanggan sebelumnya selesai dilayani, maka
waktu tunggu dilayani Pelanggan ke (i+1) = waktu selesai dilayani Pelanggan ke i dikurangi waktu kedatangan Pelanggan ke (i+1)
Dalam hal lain, maka
waktu tunggu dilayani Pelanggan ke (i+1) = 0

4 Waktu menunggu pelanggan (idle)
Waktu menunggu Pelanggan ke 1 = Waktu kedatangan pelanggan ke 1

Jika waktu kedatangan < waktu pelanggan sebelumnya selesai dilayani, maka
waktu menunggu pelanggan = 0

Dalam hal lain, maka
waktu menunggu Pelanggan ke (i+1) = Waktu kedatangan pelanggan ke (i+1) dikurangi waktu selesai dilayani Pelanggan ke i

5 Waktu proses pelayanan pelanggan
Lamanya pelanggan menunggu dilayani sampai selesai dilayani.

Waktu proses pelayanan pelanggan ke i = waktu tunggu dilayani Pelanggan ke i ditambah waktu pelayanan Pelanggan ke i

Hasil simulasi

Dari 10 pelanggan
Rata-rata waktu tunggu dilayani = detik
Rata-rata waktu proses pelayanan pelanggan = detik
Rata-rata banyak pelanggan dalam antrian = pelanggan
Rata-rata banyaknya pelanggan dlm sistem = pelanggan

Rasio waktu menunggu pelanggan( RIT) =

Dengan kata lain pelayanan yang dioperasikan dari seluruh waktu pelayanan 37 % merupakan waktu kosong (luang)